OPIS ODDZIAŁYWAŃ PRZY POMOCY PÓL CECHOWANIA.

 

Niech YA(x) (A=1,2....N) będą składowymi funkcji pola dla cząstki swobodnej zaś L = L(YA, YA,m) będzie funkcją Lagrange’a dla tego pola. .

Niech też zasada wariacyjna dS=0 (a więc i równania pola) będą niezmiennicze względem zadanej grupy infinitezymalnych transformacji funkcji pola:

(1)

(uwaga na konwencję sumacyjną). Wielkości wi oraz Ji to odpowiednio parametry i generatory naszej wybranej grupy (i = 1,2....n ; n = ilość parametrów).

Generatory Ji spełniają poznane już związki komutacyjne: [Jk , Jl] = fmk,l Jm gdzie

fmk,l to tzw. stałe struktury grupy.

Ponieważ dS = 0 możemy więc zapisać wariację lagranżjanu:

(2)

Podstawiając (1) do (2) otrzymamy:

(3)

Ze względu na dowolność parametrów w, zerują się wyrażenia w nawiasie kwadratowym. Jednocześnie, jak można sprawdzić prostym rachunkiem, wzór (2) da się przekształcić do postaci:

(2a)

Pierwszy nawias kwadratowy zeruje się, gdyż jego zawartość to równania Lagrange’a, drugi wyraz zaś to znany już warunek zachowawczy typu równanie ciągłości: dla 4-wektora prądu.

 

Dokonamy teraz następującej modyfikacji powyższego formalizmu: dopuścimy, aby parametry wi użytej grupy transformacji - dotychczas traktowane jako wielkości stałe - mogły być funkcjami punktu czasoprzestrzeni, czyli wi = wi(x). Na skutek tej modyfikacji przy obliczaniu wariacji dYA oraz dYA,m trzeba także różniczkować parametry w(x). Wówczas, zamiast wzorów (1) będziemy mieli:

(1’)

Wobec tego przy obliczaniu wariacji dL również pojawi się dodatkowy wyraz związany z różniczkowaniem , czyli:

 

(4)

 

Wyrażenie w nawiasie kwadratowym zeruje się gdyż jest ono tożsame ze wzorem (3).

Pozostaje nam więc:

(5)

Psuje nam to warunek żądanej od początku niezmienniczości zasady wariacyjnej:

dL = 0. Aby go odzyskać wprowadza się do funkcji Lagrange’a pewne dodatkowe pola, Aim , (tzw. pola kompensujące lub pola cechowania), dobrane w taki sposób aby przy obliczaniu wariacji dL różniczkowanie tych pól dawało wyraz znoszący się z wyrazem zawierającym różniczkowanie czyli ze wzorem (5). W ten sposób nasz nowy lagranżjan zachowa warunek dL = 0. Okazuje się, że można tego dokonać zamieniając zwykłe pochodne funkcji pola YA,m na tzw. pochodne kowariantne zdefiniowane następująco:

(6)

Funkcję Lagrange’a można więc symbolicznie zapisać jako zależność:

, zaś wariację dL = 0 rozpisać:

(7)

Wariacje pól dAim wyrażają się następująco:

(8)

gdzie wielkości Sim wyrażają się przez stałe struktury grupy następująco:

(8a)

 

Korzystając z powyższego wzór (1’) przejdzie nam w :

(1’’)

Teraz już można sprawdzić , że wstawiając (8) do (7) i korzystając z (1’’) faktycznie otrzymamy dL’ = 0 i żaden wyraz zawierający pochodne nie pozostanie.

 

Rozpatrzmy teraz szczególny przypadek, gdy funkcja Lagrange’a zależy tylko od pól kompensujących Aim oraz ich pochodnych, a więc gdzie . Powinna zostać zachowana niezmienniczość warunku dLo = 0 czyli:

(9)

Wstawiając do (9) związki (8) i (8a) otrzymamy następujące tożsamości:

(10)

 

Powyższe trzy wyrażenia dodane stronami dają właśnie rozpisany jawnie wzór (9) a są równe zero z osobna ze względu na dowolność parametrów wi(x), które wyłącza się przed nawiasy zawierające każde z powyższych wyrażeń. Tożsamości (10) można złożyć w jeden krótki zapis wprowadzając oznaczenie:

(11)

Wówczas (10) można zapisać krótko:

(12)

gdzie k = 1,2....n - ilość parametrów grupy.

Można więc formalnie zastąpić zapis funkcji Lagrange’a przez .

Warto teraz zauważyć, że jeśli naszą grupą transformacji funkcji pola jest np. jednoparametrowa grupa U(1) transformująca: to dla niej wszystkie stałe struktury fijk = 0; możemy także opuszczać indeks ‘i’ numerujący parametry grupy. Wówczas (11) ma postać: i jest to identyczne ze znanym z elektrodynamiki tensorem pola elektromagnetycznego, zaś składowe pól kompensujących Am to składowe 4-potencjału pola elektromagnetycznego. Lagranżjan po wstawieniu do równań Lagrange’a da nam znane równania Maxwella dla swobodnego pola elektromagnetycznego.

Rozważymy teraz całkowity lagranżjan Ltot składający się ze swobodnego pola kompensującego Fimn oraz z oddziałującego z nim pola Y :

(13)

Żądamy nadal niezmienniczości warunku dLtot = 0 . Rozpiszemy więc wariację tego lagranżjanu:

(14)

gdzie:

(15)

Ponieważ podstawienia (15) to po prostu równania Lagrange’a, więc równają się one zero. Wobec tego ze wzoru (14) pozostaje tylko druga linijka (wyrażenie w nawiasie bez ostatniego wyrazu:

(16)

lub co oznacza znany warunek zachowawczy.

Powróćmy raz jeszcze do przykładu z elektrodynamiki. Źródłem pola elektromagnetycznego są cząstki z ładunkiem elektrycznym. Odpowiadają im zespolone pola YA oraz Y*A. Jak wiemy z "przypisu 2" prawo zachowania ładunku jest rezultatem niezmienniczości zasady wariacyjnej względem jednoparametrowej grupy U(1)

(17)

(q - ładunek elektryczny). Mamy więc tu jedno pole kompensujące o czterech składowych Am (4-potencjał). Wariacje pól Y będą:

(18)

zaś pochodne kowariantne DmYA według wzoru (6) zapiszą się:

(19)

Całkowity lagranżjan wstawiony do wzoru (16) da nam postać 4-wektora prądu:

(20)

zaś równania pola (15) dadzą w tym przypadku równania Maxwella z prądem:

(21)

Widać, że oddziaływania elektromagnetyczne można opisać w języku pól kompensujących. Można było więc mieć nadzieję, że zastosowany tu formalizm uzmienniania parametrów grupy znajdzie zastosowanie do opisu innych typów oddziaływań. Tak jak grupa U(1) okazała się być grupą symetrii dla elektromagnetyzmu, podobnie pozostałe oddziaływania (słabe, silne-kolorowe i grawitacyjne) mają swoje grupy symetrii i związane z tym pola kompensujące o odpowiedniej liczbie składowych.

Okazało się, że dla oddziaływań słabych stosowną grupą symetrii jest grupa trójparametrowa grupa SU(2). Wprowadza ona trzy pola kompensujące Aim (i=1,2,3 zaś m = 1,2,3,4) - tzw. pola Yanga-Millsa - o składowych układających się w trzy bezśladowe macierze 2x2 (patrz rozdział - “Model oddziaływań słabych"). Wprawdzie trzy macierze 2x2 zawierają 4x3=12 wielkości lecz trzy warunki bezśladowości ograniczają ich ilość do ośmiu czyli 2x4. Kwanty tych pól kompensujących to bozony W+ , W- i Z0 .

Dla oddziaływań supersilnych-kolorowych stosowną grupą symetrii jest 8-parametrowa grupa SU(3). Wprowadza ona 8 pól kompensujących po 4 składniki każde. Kwanty tych pól to 8 gluonów (patrz rozdział - "Liczba kwantowa - kolor"), z których 6 niesie ładunek koloru z innym antykolorem a 2 są kolorowo neutralne. Jak wiadomo z w.wym. rozdziału każdemu ładunkowi kolorowemu (i antykolorowemu) przypisana jest trojka liczb, które w sumie dają zero; tak więc z tych trzech liczb tylko dwie są niezależne. Gluon (czyli kolor + jakiś antykolor) zdeterminowany jest więc przez cztery liczby (a nie przez 6) a 8 gluonów daje w sumie 8x4=32 składowe pól kompensujących.

Tzw. mała unifikacja oddziaływań słabych i elektromagnetycznych polegała (w uproszczeniu) na stwierdzeniu, że grupa U(1)xSU(2) jest wspólną grupą symetrii dla zunifikowanego oddziaływania elektro-słabego. Wielka unifikacja (GUT) polegała na poszukiwaniu wspólnej grupy symetrii dla oddziaływań elektromagnetycznych, słabych i silnych-kolorowych. Najprostszym przypadkiem okazała się tu grupa SU(5) zawierająca w sobie U(1)xSU(2) oraz SU(3) (omawiana w rozdziale “Próby wielkie unifikacji z grupą SU(5)").

Dla oddziaływań grawitacyjnych grupą symetrii jest grupa transformacji współrzędnych czasoprzestrzennych (uogólnienie grupy Lorentza przez uzmiennienie jej sześciu parametrów). Transformacje te działają na współrzędne czasoprzestrzenne a dopiero poprzez nie na funkcje pola Y(x) (grupy U(1) lub SU(n) działały wprost na funkcje pola). Problem z włączeniem grawitacji do wspólnego schematu unifikacji oddziaływań polega więc m.in. na znalezieniu wspólnej grupy symetrii zawierającej w sobie zarówno grupy typu SU(n) działające w przestrzeni funkcji pola jak i grupę działającą w czasoprzestrzeni.

 


Powrot do strony LEPTONY, HADRONY KWARKI