III. POLA SPINOROWE.

Spinory.

Są to wielkości geometryczne (o wielu składowych), które transformują się nieco inaczej niż wektory (lub tensory) przy zmianie współrzędnych (np. przy obrotach lub 4-obrotach). Najprostszym przykładem jest spinor 1-go rzędu – para liczb zespolonych xk (k = 1,2) przkształcająca się x = Ax :

(1)

gdzie macierz transformacji A ma wyznacznik det(A) = 1 zaś jej składniki są w ogólności zespolone. Jeśli det(A) = 1 to również wyznaczniki macierzy też są równe 1. Dlatego w ogólności przy zadanej macierzy A mamy cztery możliwe sposoby transformacji spinora x. Odpowiadające tym transformacjom spinory mają następujące nazwy i oznaczenia:

kontrawariantny xk (dla macierzy A ) ,

kontrawariantny z kropką (dla - sprzęż. zespolone),

kowariantny xk (dla A-1 ),

kowariantny z kropką (dla ).

Spinory wyższych rzędów transformują się tak jak odpowiednie iloczyny spinorów 1-go rzędu, np. transformuje się tak jak . Spinory jako wielkości fizyczne otrzymuje się po ustaleniu odpowiedniości pomiędzy macirzą A i macierzą 3-obrotu lub macierzą transformacji Lorentza (4-obrotu).

Pokażemy przykładowo, że macierz A związana z 3-obrotami współrzędnych przestrzennych wokół j-tej osi o kąt f ma postać:

(2)

gdzie - j-ta macierz Pauliego zaś macierz jednostkowa.

W tym celu każdemu punktowi w przestrzeni euklidesowej r=(x1 , x2 , x3) przyporządkujemy następującą macierz 2x2 :

(3)

Jest to macierz hermitowska bezśladowa.

Niech U będzie jakąś unitarną unimodularną macierzą 2x2. Wówczas macierz

też będzie hermitowska i bezśladowa, można ją więc oznaczyć podobnie jak (3) tylko z primami:

              (4)  

Niech więc teraz konkretnie:

(5)

Obliczymy teraz macierz czyli:

 

           (6)  

Przyrównując odpowiadające sobie wyrazy otrzymujemy:

(7)

Dodając stronami dwa ostanie równania i dzieląc przez 2 dostaniemy:

(8a)

zaś odejmując stronami i dzieląc przez 2i dostaniemy:

(8b)

Dostaliśmy więc znane wzory na transformację obrotu wokół osi x3 o kąt f

.

Przy tej transformacji współrzędnych spinory xk(x) transformują się poprzez macierz A3

(daną formułą 2) należącą do SU(2).

A jak wygląda macierz A transformująca spinory gdy współrzędne (czaso)przestrzenne

(x0 , x1 , x2 , x3) podlegają 4-obrotom (transformacjom Lorentza)?

W tym przypadku każdemu punktowi czasoprzestrzeni można przyporządkować macierz:

(9)

gdzie s0 = 1 zaś s1,2,3 macierze Pauliego.

Chodzi nam teraz znowu o znalezienie macierzy U takiej, że :

            (10) 

i aby pomiędzy współrzędnymi x'i oraz xi zachodziły transformacje Lorentza

x' = Lx.

 Okazuje się, że wówczas macierz  ma postać: 

(11)

gdzie:    zaś  cosai  (i=1,2,3) to cosinusy kierunkowe wektora .

Np. gdy  oraz   to mamy ruch układów odniesienia tylko wzdłuż  osi x i znaną

prostą transformację Lorentza. Wówczas , , oraz:

, .

Macierze L właściwej grupy Lorentza są unitarne ( LT = L-1 ) i detL =+1. Gdy transformacje te rozszerzymy o odbicia przestrzenne x = -x (dopuszczając detL = -1) to otrzymamy tzw. Pełną grupę Lorentza. Uwzględnienie inwersji przestrzennej podkreśla szczególnie różnicę pomiędzy spinorami a wektorami. Dla współrzędnych przestrzennych (a więc i wektorów) dwukrotne zastosowanie inwersji powoduje powrót do sytuacji początkowej czyli jest równoważne obrotowi o kąt 360o lub 0o. Dla spiuorów natomiast to nie jest to samo. Wystarczy spojrzeć na wzór (2) lub (11). Obrót o kąt f = 0o daje zaś o 360o daje czyli z przeciwnymi znakami. Dopiero obrót o 4p daje powrót do stanu wyjściowego. Dlatego też przy inwersjach spinor x

 przekształca się w ogólności w inny spinor, , musimy więc rozważać łącznie taką parę spinorów – tzw. bispinor: 

(12)

Okazuje się, że funkcje pola dla fermionów (ze spinem ułamkowym) są właśnie bispinorami o czterech składowych. Równania pola dla nich są niezmiennicze względem pełnej grupy Lorentza (4-obroty wraz z inwersją).

 

 

Równanie Diraca (dla pola spinorowego).

W przypisie 1 przedstawione było równanie Kleina-Gordona :

(D gdzie (13)

Jest to równanie lub układ równań różniczkowych 2-go rzędu. Okazało się jednak, że nie jest ono właściwe dla cząstek (pól) ze spinem ułamkowym. Pola takie muszą być bowiem spinorowe, ze spinorów musi być odpowiednio zbudowany dla nich lagranżan, z którego następnie poprzez zastosowanie twierdzenia Noether (i formuł 46 i 47 z przypisu 2) otrzymuje się właściwe (czyli ułamkowe) wartości spinu.

Dirac zaproponował więc faktoryzację operatora Kleina-Gordona w postaci:

(D (14)

(uwaga – konwencja sumacyjna); m,n = 0, 1, 2, 3; x0 = ct ,

zaś gm - odpowiednio dobrane macierze 4x4.

Spośród rozwiązań równań Kleina-Gordona (13) będziemy wybierali takie, które jednocześnie są rozwiązaniami równań 1-go rzędu:

lub (15)

gdzie y jest bispinorem (12). Macierze gm to tzw. macierze Diraca, mają one następującą postać:

(16)

Użyteczna też często bywa macierz

g5 = ig0g1g2g3 = (16a)

Wszystkie macierze gm są bezśladowe ( Tr gm =0 ). Ponadto spełniają one następujące związki:

(m,n = 0, 1, 2, 3) (17)

gdzie:    (i, j = 1, 2, 3),   . Tu      gdy i=j oraz     gdy   .

Istnieje kilka przedstawień macierzy Diraca, gdyż warunki (17) nie determinują ich jednoznacznie. Używane też są dolnowskaźnikowe macierze Diraca, gm , tworzone przy pomocy tensora gmn następująco: gmgmn = gn (cały czas konwencja sumacyjna), tzn. g0 = g0, gi = -gi .

Równanie Diraca zapisuje się zwykle w postaci:

(18)

Drugie, sprzężone do niego równanie zachodzi dla bispinora dirakowsko sprzężonego i ma postać:


(19)

(uwaga, Y jest bispinorem kolumnowym zaś wierszowym, ma to znaczenie przy mnożeniu z macierzami gm ). Z bispinorów Y oraz można zbudować skalar oraz 4-wektor spełniające wspominane już równanie ciągłości lub w postaci:

(20)

Lagranżan i inwarianty spinorowych pól Diraca.

Równania pola w wersji Diraca (18) i (19) można otrzymać także z formalizmu Lagrange’a prąc lagranżan w postaci:

(21)

Z twierdzenia Noether można obliczyć odpowiednie niezmienniki (tensor energii-pędu, tensor momentu pędu itp.). W szczególności tensor gęstości spinu (wg formuły 47a przypisu 2) otrzymuje się w postaci:

(22)

gdzie zaś antysymetryczne pary indeksów [nr] przebiegają sześć kombinacji (patrz przypis 2). Dla określenia gęstości 3-ciej (z-towej) składowej wektora spinu musimy policzyć wielkość s[12] .

         gdzie   macierz Pauliego         (23) 

natomiast ze wzoru (22) dostaniemy:

(24)

Wielkość 3-ciejskładowej wektora spinu będzie więc:

(25)

gdzie oznaczono:  zaś .

Jeśli dla spinu  zapiszemy sobie funkcję pola:

 oraz           (26) 

gdzie zachodzi warunek unormowania   to dla s3 otrzymamy

(27)

Podobnie kładąc dla spinu :

oraz (28)

z warunkiem normowania otrzymamy dla s3

(29)


Powrot do strony LEPTONY, HADRONY KWARKI