Infinitezymalne transformacje Lorentza.

Jak wiadomo, transformacje Lorentza zachowują długość czterowektora, np:

(x1)2 + (x2)2 + (x3)2 + (x4)2 = inv. (x4 = ict) (26)

Zapiszmy symbolicznie naszą transformację : x’i = Lijxj gdzie Lij jest macierzą transformacji Lorentza. Jednocześnie, dla podkreślenia infinitezymalności przekształcenia, możemy to zapisać : x’i = xi + dxi , gdzie małe wielkości dxi można wyrazić jako kombinacje liniowe wielkości xi czyli: dxi = wij xj . Tak więc mamy:

x’i = Lijxj = xi + dxi = xi + wij xj = (dij + wij ) xj = (27)

Ponieważ macierz Lorentza L ma własność LT L = 1 , mamy więc :

(28)

a stąd po wymnożeniu i opuszczeniu wyrazu w wT jako małego drugiego rzędu otrzymamy warunek: w = -wT czyli wij = -wji (antysymetryczność).

Stąd zaś wyrazy diagonalne wKK = 0 . W takiej antysymetrycznej macierzy 4x4 mamy sześć niezależnych elementów a więc tyle jest parametrów grupy Lorentza.

Wprowadzimy teraz pomocniczo bazę macierzową eij zdefiniowaną jako zbiór 16 macierzy, które mają 1 na miejscu (i , j) i pozostałe elementy zerowe, np:

itd. (29)

W tej bazie macierz w można zapisać jako sumę:

(30)

Korzystając zaś z antysymetryczności macierzy w możemy powyższe zapisać:

(31)

Oznaczając sobie : I[ij] = (eij - eji) możemy zapisać , gdzie antysymetryczne pary indeksów [ij]przebiegają przez sześć niezależnych kombinacji:

[i,j] := [1,2], [2,3], [3,1], [1,4], [2,4], [3,4].

Całą macierz infinitezymalnej transformacji Lorentza możemy w tej konwencji zapisać:

(32)

Macierze I[ij] := Ip tworzą sześć generatorów grupy Lorentza (dla transformacji współrzędnych) zaś sześć wielkości w[ij] := wp to parametry tej grupy. Korzystając ze wszystkich wprowadzonych oznaczeń można wielkość dxi zapisać:

dxi = wij xj = (33)

gdzie :              (34) 

Gdy współrzędne czasoprzestrzenne transformujemy według opisanego powyżej schematu to muszą się też odpowiednio zmieniać funkcje pola :

Możemy to symbolicznie zapisać :

(35)

(i,k = 1,2...n - numeruje składowe funkcji pola).

Macierz infinitezymalnych wielkości W pełni tu analogiczną role jak przy transformacjach współrzędnych macierz i przez analogię można ją zapisać :

(36)

gdzie wp to sześć tych samych co poprzednio parametrów grupy Lorentza (indeksowanych tak jak powyżej: p = {[1,2], [2,3], [3,1], [1,4], [2,4], [3,4]} ) zaś Jp to generatory tej grupy - lecz tym razem w przestrzeni funkcji pola.

Infinitezymalna zmiana funkcji pola spowodowana naszą transformacją wyrazi się więc następująco:

(37)

gdzie:

(38)

Zapisane wzorami (34) i (38) macierze Xip oraz Yip (zawierające w sobie generatory grupy dla transformacji współrzędnych oraz dla funkcji pola) będą miały istotne znaczenie w zapisie twierdzenia Noether omawianego poniżej.

 

 

 

Twierdzenie Noether.

Każdej n-parametrowej grupie transformacji współrzędnych oraz funkcji pola, która nie zmienia zasady wariacyjnej dS = 0 oraz równań ruchu, odpowiada ‘n’ różniczkowych praw zachowania w postaci:

(p = 1,2...n - ilość parametrów grupy) (39)

lub w postaci całkowej: (39a)

gdzie wielkość zachowująca się:

(40)

Tu: L - lagranżan analizowanego układu.

Xip oraz Ykp dane formułami (34) i (38).

 

Przykłady zastosowania twierdzenia Noether.

a) translacja w czasoprzestrzeni.

Zapiszmy 4-translację współrzędnych czasoprzestrzennych:

x'i = xi +dxi i = 1, 2, 3, 4; x4=ict (41)

Jest to czteroparametrowa grupa, której parametry wp = dxi (i = p = 1...4).

Korzystając ze wzoru (33) mamy a stąd : Xip = dip .

Funkcje pola yj(x) nie zmieniają swojej postaci na skutek translacji współrzędnych czyli dyj = 0.

  Stąd na mocy (37) :   mamy   Yjp = 0.   

Podstawiając powyższe Xip oraz Yjp do wzoru (40) na niezmiennik z tw. Noether otrzymamy:

 

(42)

 

 

Wielkość Tip nosi nazwę tensor energii-pędu i spełnia prawo zachowania (39).

W klasycznej mechanice teoretycznej dla lagranżanu mieliśmy wielkość - hamiltonian - odzwierciedlającą energię całkowitą układu fizycznego w postaci:

(43)

spełniającą prawo zachowania energii: .

Zauważmy, że wielkość T44 z formuły (42) jest prostym uogólnieniem powyższej formuły na przypadek relatywistycznie niezmienniczego formalizmu Lagrange’a dla pól. Tak więc T44 to gęstość energii naszego układu . Wyrazy pozadiagonalne T4p odpowiadają składowym gęstości pędu natomiast składowe Tmn (m,n = 1, 2, 3) tworzą tzw. tensor naprężeń. Tak więc w tym ujęciu prawo zachowania energii-pedu jest rezultatem niezmienniczości zasady wariacyjnej względem grupy 4-translacji czyli jednorodności czasoprzestrzeni (żaden punkt czasoprzestrzeni nie jest wyróżniony).

b) 4-obroty w czasoprzestrzeni.

Rozpatrzmy teraz efekt działania tw. Noether przy zastosowaniu 4-obrotów czyli właściwej grupy Lorentza (bez inwersji). Jak już wiemy, jest to grupa sześcioparametrowa, której parametry oznaczaliśmy w[ij] := wp gdzie antysymetryczne pary indeksów były numerowane:

[i,j] := [1,2], [2,3], [3,1], [1,4], [2,4], [3,4] lub:

p := 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .

Infinitezymalne zmiany współrzędnych i funkcji pola wyrażały się:

oraz

Korzystając z (31) i (34) możemy Wielkości Xk[ij] wyliczyć jako:

(44)

Wielkości Yn[ij] zależą od konkretnego typu funkcji pola (czy jest to pole skalarne, wektorowe czy inne) nie będziemy więc wyliczać ich konkretnych postaci. Wstawiając (44) do wzoru (40) z tw. Noether otrzymamy po uporządkowaniu postać:

(45)

Porównując (45) z (42) można zauważyć, że w powyższej formule drugi i trzeci wyraz w nawiasach klamrowych odpowiada wzorom na tensor energii-pędu (z odpowiednimi indeksami). Otrzymana wielkość Qk[ij] da się więc przepisać jako:

(46)

Otrzymana wielkość to całkowity moment pędu (tensor momentu pędu) analizowanego pola y. Składa się ona z orbitalnej części momentu pędu :

(47)

oraz części spinowej

(47a)

Prawu zachowania - jak widać - podlega całkowity (orbitalny + spinowy) moment pędu. Prawo zachowania momentu pędu jest rezultatem izotropowości czasoprzestrzeni. Spinowy moment pędu jest - jak widać - efektem czysto relatywistycznym, który pojawił się na skutek zastosowania 4-obrotów. Gdybyśmy zastosowali niezmienniczość działania względem zwykłych 3-obrotów w przestrzeni otrzymalibyśmy tylko orbitalny moment pędu jak niezmiennik podlegający prawu zachowania. Uogólnienie relatywistyczne spowodowało pojawienie się dodatkowej wielkości o wymiarze momentu pędu - spinu - który nie ma żadnego odpowiednika w formalizmie klasycznym nierelatywistycznym. Wszelkie porównania spinu cząstek elementarnych do kuleczek lub punktów wirujących wokół swojej osi nie są zbyt trafne. Spin nie ma żadnego klasycznego odpowiednika, do którego można by go przyrównać!

c) Transformacje cechowania funkcji pola.

Jak już parokrotnie wspominano, funkcje pola mogą być w ogólnosci zespolone. W takim razie lagranżan , który musi być wielkością rzeczywistą, może składać się jedynie z kombinacji typu yjy*j oraz ich pierwszych pochodnych. Rozpatrzmy teraz transformację typu:

(48)

Przy tej transformacji wielkości yjy*j nie zmieniają się a wiec i lagranżan pozostaje bez zmian. Transformacje takie tworzą jednoparametrową grupę, której jedynym parametrem jest czynnik fazowy a. Infinitezymalne zmiany funkcji pola (dla małych a) można tradycyjnie zapisać:

(49)

Korzystając ze znanych już oznaczeń mamy więc:

dyj = iayj = Yja czyli Yj = iyj (uwaga, tu ze względu na tylko jeden parametr grupy nie musimy używać dolnego indeksu ‘p’ w Yjp, wystarczy tylko Yj ). Analogicznie dla wartości sprzężonej mamy Y*j = -iy*j . Ponieważ nasza transformacja (48) działa tylko na funkcje pola nie zaś na współrzędne xi więc

dxi = 0 a tym samym Xip = 0. Wstawiając do wzoru (40) dostaniemy wyrażenie na wielkość zachowywaną:

; k= 1,2,3,4 (50)

Otrzymane cztery składowe jk to tzw. czterowektor prądu (jego 4-ta składowa j4 jest gęstością ładunku elektrycznego). Spełnia on warunek zachowawczy

. (51)

W postaci całkowej wielkość :

(52)

odzwierciedla całkowity ładunek cząstki opisywanej funkcją pola y , który podlega prawu zachowania.

Jak widać z (50) , gdy funkcje pola są rzeczywiste to składowe jk zerują się. A więc tylko cząstki opisywane zespolonymi funkcjami pola mogą być nośnikami niezerowego ładunku elektrycznego oraz prądu. Natomiast znane prawo zachowania prądu i ładunku (r-nie ciągłości) jest efektem zastosowania tw. Noether z użyciem transformacji cechowania funkcji pola.

Przykład: pole y skalarne zespolone.

Ponieważ funkcja y jest skalarna nie ma więc potrzeby indeksowania składowych funkcji pola. Będziemy też stosowali skrótowy zapis oraz konwencje sumacyjną (suma po powtarzających się indeksach.

Okazuje się, że najprostszy lagranżan, który (jako skalar rzeczywisty) wstawiony do równań Lagrange’a (5) daje równania Kleina-Gordona (4 lub 4a) ma postać:

gdzie

(otrzymamy dwa r-nia Kleina-Gordona - jedno dla y i drugie dla y* ).

Zastosowanie 4-translacji daje nam tensor energii-pędu (42) w postaci:

Jak już wiemy, wielkość T44 to gęstość energii a więc podlegająca zachowaniu energia wyrazi się

zaś wektor pędu:

Zastosowanie grupy 4-obrotów prowadzi do niezmiennika - momentu pędu. Ponieważ funkcja pola jest skalarna więc obroty nie zmieniają jej postaci, tym samym dy = 0 ---> Ykp = 0. Stąd też ze wzoru (47a) wynika, że zeruje się spinowy moment pędu. Pole skalarne może więc opisywać cząstki o spinie zerowym. Natomiast “orbitalny” moment pędu wyrazi się:

Zastosowanie transformacji cechowania prowadzi do 4-wektora prądu i zachowania ładunku (50 i 52). Używany we wzorach (48) i (49) bezwymiarowy parametr a wygodnie jest zapisać w formie: gdzie e to ładunek elektronu zaś w - mała wielkość (parametr transformacji). Wówczas gdzie oraz . Formuła (50) pozwala nam wyliczyć gęstość ładunku:

oraz ładunek . Ogólnie zaś 4-wektor prądu ma postać: przy czym zachodzi:

.  


Powrot do strony LEPTONY, HADRONY KWARKI