REPREZENTACJE GRUPY SU(3)

i ich zastosowanie do klasyfikacji supermultipletowej hadronów.

 

Trójkę kwarków: u, d, s - a ściślej ich funkcje falowe yu , yd , ys można potraktować jako składniki wektora-kolumny:

zaś antykwarki: .

Przy transformacjach unitarnych SU(3) zachowywana jest wielkość:

gdzie indeks a symbolizuje (i numeruje) odpowiednie typy kwarków (uwaga w dalszym ciągu na konwencję sumacyjną).

Symboliczny zapis takiej unitarnej transformacji ma postać: , gdzie U jest macierzą unitarną 3x3 w postaci: rozkładającą się na 8 generatorów Ji i tyleż parametrów li (patrz przypis_1b). Zbiór takich macierzy U tworzy nam podstawową - 3-wymiarową - reprezentację grupy SU(3).

Można jednak utworzyć reprezentacje o wyższych wymiarach. Zbudujmy funkcję falową Y , której składowe złożone są z iloczynów wyjściowych funkcji falowych kwarków: - czyli jakby hadron złożony z "m" kwarków i "n" antykwarków. Zilustrujemy to dalej na poznanym już przykładzie mezonów zbudowanych z kwarków i antykwarków, gdy składowe funkcji falowej są po prostu iloczynami funkcji falowej kwarka qa i antykwarka , lub też mogą to być jakieś proste liniowe funkcje takich iloczynów . Składowe układają się w macierz 3x3. Symbolicznie można to zapisać jako iloczyn tensorowy . Macierz ta ma 9 składników, które możemy sobie ponumerować kolejno i ustawić w jednej kolumnie:

(1)

 

Pod działaniem transformacji z grupy SU(3) składowe Yab transformują się:

{konwencja sumacyjna !}

gdzie macierze U to znane nam macierze unitarne z SU(3).

A teraz przepiszmy tę samą transformację zapisując składowe Yba w postaci kolumny czyli: gdzie i,j=1,2...9.

 

Domyślamy się, że składowe macierzy Sij to odpowiednie składowe . Ponieważ jednak zaś macierze U należą do SU(3) i są jednoznacznie określone przez 8 parametrów, więc i nowe 9x9 macierze S też są jednoznacznie określone przez te same 8 parametrów. Tworzą więc one nową - 9 wymiarową - reprezentację grupy SU(3). Można następnie badać, czy ta nowa reprezentacja jest redukowalna (przywiedlna) czy nieredukowalna (nieprzywiedlna). Reprezentacja jest redukowalna gdy macierze S dadzą się przedstawić (lub sprowadzić) do postaci kwasi diagonalnej - czyli rozłożyć na dwie lub kilka podmacierzy leżących na przekątnej macierzy S:

Wówczas wielkości transformują się tylko przez podmacierz P :

, i,j=1...p, zaś wielkości transformują się tylko przez podmacierz Q: , gdzie m,n=(p+1)...9.

Jeśli następnie podmacierzy P i Q nie da się już dalej rozkładać na dalsze podobnego typu podmacierze, to mówimy, że P i Q tworzą nieredukowalne (nieprzywiedlne) reprezentacje reprezentacji S.

Dla naszych przykładowych mezonów skalarnych (o spinie s=0) mamy zasadę tworzenia ich jako pary czyli w najprostszej wersji składowe byłyby :

Dla takiego wyboru składowych Y(i) macierz transformacyjna [S] nie jest wprawdzie redukowalna, ale nie znaczy to jeszcze, że reprezentacja 9-wymiarowa grupy SU(3) jest absolutnie nieredukowalna. Okazuje się, że modyfikując nieco postać składników Yab można znaleźć sposób na redukowalność macierzy [Sij]. Należało tylko zrobić następująco:

dla ; oraz:

Wówczas okazuje się, że przy transformacji macierz 9x9, [S], rozkłada się (czyli redukuje) na dwie części kwasi diagonalne: podmacierz 8x8 oraz podmacierz 1x1, czyli:

 

 

Pierwsze osiem funkcji falowych to znany supermultipletowy oktet mezonów zaś dziewiąty składnik to singlet . Rozkład tej 9-cio wymiarowej reprezentacji SU(3) na reprezentacje nieredukowalne 8 i 1 wymiarowe zapisuje się symbolicznie: .

Dla barionów, które według znanej nam zasady mają być budowane z trzech kwarków, czyli: , powstaje reprezentacja wymiarowa. Okazuje się, że jest ona redukowalna do następujących reprezentacji nieredukowalnych: 1-wymiarowej, dwóch 8-wymiarowych i 10-wymiarowej, czyli symbolicznie: .

Rozpoznajemy w tych wymiarach supermultipletowe dekuplety, oktety i singlety, w które grupują się wszystkie bariony zbudowane z kwarków u, d i s .

 


Powrot do strony LEPTONY, HADRONY KWARKI