II. GRUPY SYMETRII W FIZYCE CZĄSTEK ELEMENTARNYCH.

Przypomnienie pojęcia grupy.

Grupą nazywamy zbiór G wraz z określonym w nim działaniem ,które spełniają następujące aksjomaty:

1) dla każdej pary elementów istnieje element taki, że ,

2) działanie grupowe jest łączne: ,

3) istnieje element taki, że dla każdego ,

4) dla każdego istnieje element odwrotny taki, że .

Gdy to grupa jest przemienna (abelowa).

Grupy unitarne.

W fizyce cząstek elementarnych istotną role odgrywają transformacje zachowujące wartość formy kwadratowej:

z - wielkości zespolone.

Ponieważ używane w opisie mikroświata funkcje pola są na ogół zespolone (mają zespolone składowe ) więc istotne będą grupy transformacji dla tych funkcji pola zachowujące wartość formuły .

Transformacje takie nazywamy unitarnymi. Ich reprezentacje stanowią macierze unitarne U o własnościach: , (det U)2 = 1. W szczególności transformacje , dla których (det U )= +1 tworzą tzw. (specjalne) grupy unitarne - unimodularne oznaczane SU(n).

Rozpatrzmy infinitezymalną transformację funkcji pola:

             (11)

Infinitezymalną zmianę można wyrazić jako kombinację liniową pozostałych składowych: (uwaga! - stosowana konwencja sumacyjna po jednakowych indeksach). Ponieważ są małe więc i wielkości wij też są małe.

Tak więc możemy przepisać naszą transformację:

          (12)

Stąd macierz transformacji . Korzystamy teraz z faktu, że . Zapisując symbolicznie : U = (1 + w) mamy:

        (13) 

(tu "1" to macierz jednostkowa).

Wyraz jako mały drugiego rzędu. Otrzymujemy więc prosty warunek:

            (14)

a z niego fakt, że wyrazy diagonalne macierzy w są czysto urojone

Grupa SU(2).

Odpowiadające jej macierze U oraz wchodzące w nie macierze w są macierzami 2x2 zawierają więc 4 elementy zespolone. Mamy też warunek UU*T = UU-1 = 1. Zapiszmy to sobie następująco:

                  (15)

Stosując zasady mnożenia macierzy mamy związki:

 aa* + bb*  =1 ;      cc* + dd* = 1 ;         (16)

ac* + bd* = 0 ; ca* + da* = 0 ; (16a)

Wiemy już również, że zachodzi : b = -c* co wstawione powyżej daje:

ac* - c*d* = 0 = c*(a - d*) czyli : a = d*. Także liczby a oraz d są czysto urojone.

Wróćmy teraz do naszej konkretnej macierzy infinitezymaej transformacji - w. Na podstawie powyższych rozważań możemy ją symbolicznie zapisać:

w11 = ib1 w22 = -ib1 (17)

w12 = a1 + ia2 w21 = a3 +ia4 (17a)

Lecz z warunku (14) : mamy: a1 + ia2 = - a3 + ia4 czyli

a1 = -a3 oraz a2 = a4 . Całość macierzy U określają więc 3 wielkości rzeczywiste: a1 , a2 , b1 . Mówimy więc, że grupa SU(2) jest trójparametrowa, gdyż całkowicie macierze U określone są przez trzy parametry rzeczywiste a1 , a2 , b1.

Można pokazać, że ogólnie grupa SU(n) posiada n2-1 parametrów.

Zauważmy też, że macierz w można rozpisać jako sumę:

(18)

 

Trzy macierze 2x2 , na które daje się rozłożyć każdą macierz w nazywa się generatorami grupy SU(2). Rozpoznajemy w nich znane skąd innąd macierze Pauliego:


(19)

Macierz U z grupy SU(2) bywa też symbolicznie zapisywana:

gdzie L = (l1, l2, l3) to ujęte w wektor trzy parametry grupy zaś to powyższe macierze Pauliego. Ponieważ w transformacji infinitezymalnej parametry lj są małymi liczbami więc zapis z eksponentem należy rozumieć jako:

(20)

Generatory nie komutują,

(21)

jako operatory odpowiadają więc obserwablom niewspółmierzalnym (składowe spinu lub izospinu). Liczby Ckij nazywają się stałymi struktury grupy SU(2).

Grupa SU(3).

Jest to grupa transformacji zachowujących formę:

             (22)    

Symbolicznie możemy zapisać taką transformację (podobnie jak dla SU(2) )

(23)

gdzie lj to parametry grupy zaś Jj to generatory grupy SU(3). Grupa SU(3) ma 32 - 1 = 8 parametrów i tyleż generatorów. Generatory mają tu następującą postać:

(24)

Własności komutacyjne generatorów:

  [Ji , Jj] = CkijJk                (25)  

Zwykłymi rachunkami można otrzymać wartości stałych struktury Ckij . Różne od zera są tylko następujące wielkości: C312 = 2i , C714=-C615 = C624 = C725 = C534 = -C736 = i , C845 = C867 = i. Dwa spośród generatorów , J3 oraz J8 komutują i w ośmiotorowej ścieżce klasyfikacyjnej Gell-Manna odpowiadają operatorom rzutu izospinu I3 oraz hiperładunku Y.


Powrot do strony LEPTONY, HADRONY KWARKI