DODATKI MATEMATYCZNE.

I. FORMALIZM LAGRANGE’A W TEORII POLA.

W mechanice nierelatywistycznej mamy dla cząstki swobodnej znany związek pomiędzy energią i pędem E = p2/2m . Gdy dokonamy znanych w mechanice kwantowej podstawień operatorowych:

oraz (1)

to dostaniemy znane równanie Schródingera :

(2)

W mechanice relatywistycznej odpowiedni związek pomiędzy energią i pędem ma jednak postać :

E2 = p2c2 +m2c4 (3)

z którego po podstawieniu operatorów (1) otrzymamy:

(4)

lub, wprowadzając operator D’Alamberta D =

(D - (4a)

Jest to relatywistyczne równanie mechaniki kwantowej - równanie Kleina-Gordona.

Funkcja w ogólności nie musi być skalarem. W zależności od spinu opisywanej cząstki może ona być bądź skalarem (dla spinu s=0), 4-wektorem (dla s=1) spinorem (dla s=1/2) tensorem (dla s=2) itp. Wówczas mamy tyle równań (4) ile składowych ma funkcja .

W klasycznej mechanice punktów materialnych układ fizyczny opisywała funkcja Lagrange’a gdzie qa (a = 1,2,....n) były tzw. współrzędnymi uogólnionymi. Obecnie w naszym relatywistycznym formalizmie rolę współrzędnych q pełnią funkcje .oraz ich pochodne po wszystkich czterech współrzędnych czasoprzestrzennych (oraz funkcje sprzężone, gdyż .w ogólności są zespolone). Funkcję Lagrange’a (tzw. lagranżan) możemy symbolicznie zapisać:

.

Równania Lagrange’a wynikające z zasady wariacyjnej (dS = 0) będą miały postać :

                       (5)

gdzie indeks a = 1,2...n numeruje składowe funkcji pola

zaś indeks i = 0, 1, 2, 3 odnosi się do współrzędnych czasoprzestrzennych.

Lagranżan L oraz równania (5) muszą oczywiście być relatywistycznie niezmiennicze.

Okazuje się, że istnieje taki lagranżan , który po wstawieniu do (5) daje nam równanie Kleina-Gordona (4). Ma on postać :

                            (6)

gdzie gij = diag{1,-1,-1,-1} .

Jeśli przykładowo funkcja pola jest 4-wektorem to lagranżan można zapisać w postaci:

                          (7) 

gdzie:

                         (7a) 

Lagranżan (7) jako szczególny przypadek lagranżanu (6) wstawiony do równań (5) daje również równanie Kleina-Gordona (4) z warunkiem dodatkowym:

                       (8)  

Jeśli składowe 4-wektora utożsamić z 4-wektorem potencjału z elektrodynamiki oraz biorąc m = 0 (fotony są bezmasowe) to nasze 4 równania Kleina-Gordona staną się po prostu równaniami Maxwella (w próżni) dla składowych potencjału :

      D= 0     ; DAi = 0                         (9)   

z warunkiem Lorentza

                            (10)

Gdy składowe pól są rzeczywiste to opisują cząstki bez ładunku elektrycznego zaś zespolone odpowiadają cząstkom naładowanym; wówczas funkcja sprzężona odpowiada antycząstkom z przeciwnym ładunkiem elektrycznym.

Znaczenie funkcji y w nierelatywistycznej i w relatywistycznej teorii kwantowej.

Jak wiadomo, w nierelatywistycznej teorii kwantowej funkcja falowa y spełniająca równanie Schródingera (2) nie ma bezpośredniej interpretacji fizycznej natomiast wielkość |y|2 = yy* interpretowało się jako gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki (opisywanej funkcją y w obszarze objętości dV. Funkcja y musiała więc być unormowana przez warunek: . Napiszmy r-nia Schródingera osobno dla funkcji y oraz dla y* mnożone z lewej strony odpowiednio przez y* oraz przez y:

i odejmijmy je stronami:

                (a)

Lewa strona powyższej równości to rozpisana pochodna .Prawa zaś strona da się przepisać w postaci: . Całkując stronami po objętości (po dV) mamy:

            (b)

Wyrażenie: nazywa się gęstością prądu prawdopodobieństwa a całka z niego po dV - prądem prawdopodobieństwa. Równanie (b) ma więc postać tzw. równania ciągłości :

 

                                ( c ) 

Przeanalizujmy teraz to samo zagadnienie w języku relatywistycznym, gdy zamiast równania Schródingera mamy równanie Kleina-Gordona.

y * {D - }

y {D - }

Odejmując stronami dostaniemy teraz:

y*Dy - y Dy* = 0 (d)

Jest to analog równania (a). Chcąc nadać temu równaniu postać typu równanie ciągłości ( c )

należy zrobić następujące podstawienia na gęstości r oraz j :

                           (e)

Widać więc, że teraz r nie jest równe |yy*| i nie ma interpretacji gęstości prawdopodobieństwa położenia cząstki. Położenie przestaje być w ogóle użyteczną zmienną dynamiczną. Wielkość r nie musi być wcale dodatnia, natomiast czwórka wielkości (j0 = r, j1, j2, j3) tworzy czterowektor gestości prądu spełniający równanie :

                             (f)

które jest odpowiednikiem równania ciągłości, czyli pewnym prawem zachowania.

 


Powrot do strony LEPTONY, HADRONY KWARKI