PROBLEM MASY NEUTRIN.

 

W standardowym modelu kwarków i leptonów mamy trzy typy neutrin: ne , nm , nt , które traktowane są jako cząstki bezmasowe a tym samym poruszające się (podobnie jak fotony) z prędkością światła. Stwierdza się ponadto istnienie wyłącznie lewoskrętnych neutrin i prawoskrętnych antyneutrin (patrz rozdział: “oddziaływania słabe i skrętność”). Neutrina nie mogą więc zmienić swojej skrętności (rzutu spinu na kierunek pędu) nie da się bowiem takiej bezmasowej cząstki zatrzymać i zawrócić.

Rozwijane jednak od lat 80-tych eksperymenty związane z detekcją neutrin słonecznych oraz atmosferycznych sugerują coraz bardziej, że cząstki te posiadają jednak masę (patrz rozdz. - “Eksperymenty związane z badaniem neutrin”). Zmienia to znacząco sytuację teorii, zmusza wręcz do wyjścia poza model standardowy.

Jak wiadomo, fermiony (np. leptony lub kwarki) opisywane są przez pola spinorowe Y(x) spełniające równanie Diraca. Lagranżjan takiego pola posiada wyraz z masą typu . Każde takie pole Y można rozłożyć na sumę stanów lewo- i prawoskrętnych . Z własności rozwiązań równania Diraca wiadomo też, że operacja przejścia od fermionu do antyfermionu wiąże się jednocześnie ze zmianą jego początkowej skrętności:

oraz

Jeśli rozważana cząstka ma ładunek elektryczny, czyli (np. elektrony, miony, taony, kwarki) to mamy cztery wyraźnie rozróżnialne stany: . Są to cząstki typu Diraca. Jeśli natomiast cząstka jest elektrycznie obojętna (a tak jest dla neutrin) czyli to operacja sprzężenia ładunkowego (przejście do antycząstki) oznacza jedynie zmianę skrętności.. Mamy więc wtedy tylko dwa istotnie rozróżnialne stany - oraz . Są to cząstki typu Majorany. Tak właściwie w standardowym modelu nazwy neutrino i antyneutrino są raczej symboliczne. Równie dobrze można by mówić, że neutrino jest tożsame z antyneutrinem i może występować w dwóch stanach skrętności (podobnie traktujemy fotony mówiąc, że są one tożsame z antyfotonami, mogą natomiast występować w dwóch stanach polaryzacyjnych).

Jeśli jednak neutrino posiada masę, to znaczy, że nie porusza się ono z prędkością światła i można mu zmienić kierunek pędu na przeciwny (bez zmiany kierunku spinu) czyli zmienić skrętność. Na skutek samej zmiany kierunku ruchu cząstka nie stanie się antycząstką. Trzeba więc teraz wyraźnie rozróżniać n od a każde z nich w dwóch stanach skrętnościowych: . Trzeba więc także zaakceptować (przynajmniej teoretycznie) istnienie prawoskrętnych neutrin i lewoskrętnych antyneutrin (i to dla każdej generacji). Ponieważ jednak nigdzie w oddziaływaniach słabych nie stwierdzono reakcji lub rozpadów z udziałem lub należało więc im przypisać zerowy ładunek słabego oddziaływania. Oznacza to, że te osobliwe neutrina nie uczestniczą w oddziaływaniach słabych. Nie uczestniczą one również w oddziaływaniach elektrycznych i silnych-kolorowych (nie mają ładunku elektrycznego i kolorowego). O ile mają masę to mogą podlegać oddziaływaniom grawitacyjnym, jednak ich rola w eksperymentach z cząstkami elementarnymi jest praktycznie niezauważalna. Te dwie (a właściwie po dwa dla każdej generacji) egzotyczne postacie neutrin nazwano neutrina sterylne - nS. W niektórych wariantach teorii neutrino sterylne traktowane bywa jako czwarta generacja neutrin nie stowarzyszona z żadnym masywnym leptonem.

Kolejnym krokiem teoretycznym była koncepcja tzw. oscylacji neutrin. Jeśli neutrina mają masy - i to różne - to można je formalnie traktować jako trzy “stany masowe” , które symbolicznie zapiszemy:

oznaczając dla skrótu funkcje falowe:. I tu podstawowa uwaga! Stany odpowiadające różnym masom nie muszą być tożsame ze stanami odpowiadającymi różnym generacjom ne , nm ,nt lub nS. Na stanach "masowych" ,ni , można rozpiąć pewną przestrzeń, w której stany odpowiadające generacjom będą tworzyły układ osi obróconych o pewien kąt. Dla prostoty zilustrujemy to na przykładzie dwuwymiarowym:

Stany generacyjne ne i nm są tu kwantową mieszaniną stanów masowych n1 , n2 zaś kąt q nazywa się kątem mieszania (q = 0 oznacza brak mieszania i identyczność stanów własnych masy oraz generacji). Używając znanych wzorów na transformację obrotu możemy napisać:

lub w skrócie: , gdzie to powyższa macierz obrotu.

Gdy masy to również energie (tu ).

Ewolucja czasowa każdego ze stanów własnych masy może być zapisana jako fala biegnąca czyli:

Oznaczmy dla skrótu powyższą macierz z eksponentami:

Z kolei ewolucja czasowa stanów własnych generacji też da się zapisać w dość podobny sposób:

Macierz tej ewolucji czasowej wyraża się w prosty sposób przez macierz M oraz macierz obrotu U , mianowicie czyli pisząc to jawnie mamy:

oraz

 

Niech w jakiejś chwili początkowej t=0 i w punkcie x=0 wyemitowane zostaje tylko neutrino elektronowe (co możemy symbolicznie zapisać ) Wstawiając to do powyższego wzoru dostaniemy po wymnożeniu macierzy :

Otrzymany rezultat oznacza, ze po pewnym czasie ‘t’ w punkcie ’x’ mamy różną od zera wartość funkcji falowej neutrina mionowego :

Prawdopodobieństwo znalezienia neutrina mionowego w punkcie (x,t) wynosi

Jak widać z powyższego, aby zaszedł proces kwantowej oscylacji czyli przekształcenia neutrina elektronowego w mionowe niezbędna jest różnica mas oraz różny od zera kąt mieszania (optymalny kąt wynosi 45o ).

Zupełnie identycznie można rozważać oscylacje neutrin mionowych do taonowych, taonowych do elektronowych a każdego z nich do sterylnych.

Dane empiryczne wskazują, ze jeśli neutrina mają masę to jest ona niewielka w porównaniu z ich całkowitą energią czyli . Wówczas różnicę energii można przybliżyć rozwinięciem:

Jednocześnie, przy relatywistycznych prędkościach neutrin ich drogę L:=‘x’ przebytą w czasie ‘t’ można przybliżyć jako x=ct (czyli t=L/c) zaś ich pęd (przy małej masie) jako p=E/c. Wówczas prawdopodobieństwo oscylacji zapisze jako:

Droga oscylacji to odcinek L, po którym prawdopodobieństwo przemiany jednego neutrina w drugie jest maksymalne - przy q = 45o wręcz równe jedności. Wówczas, chcąc mieć to prawdopodobieństwo P=1 musimy wyrażenie w nawiasie klamrowym przyrównać do p/2.

a stąd droga oscylacji neutrin o energii E i różnicy kwadratów mas D(m)2 wynosi:

W różnych eksperymentach próbuje się wyznaczać drogi oscylacji poszczególnych rodzajów neutrin a także na podstawie zliczeń określić ich prawdopodobieństwa ,P. Stąd można następnie wyliczać zarówno różnice mas jak i kąt mieszania q .

 


Powrot do strony LEPTONY, HADRONY KWARKI