KOSMOLOGICZNE ROZWIĄZANIA RÓWNAŃ EINSTEINA.

W rozdziale podstawy OTW stwierdzono, że einsteinowskie równania pola to w ogólności dość skomplikowany układ 10 równań różniczkowych, w których niewiadomymi są składowe gij tensora metrycznego. Układ ten udało się analitycznie rozwiązać dla kilku prostych sytuacji, w tym dla przypadku przestrzeni jednorodnie wypełnionej materią o stałej gęstości r . Przypadek ten odpowiada właśnie kosmologii czyli opisowi własności i ewolucji Wszechświata jako całości.

Prawa strona równań Einsteina opisująca rozkład masy (energii) w przestrzeni - tzw. tensor energii-pędu Tij - brana jest z mechaniki ośrodków ciągłych i ma w tym przypadku następującą postać:

(1)

gdzie r to średnia gęstość materii we Wszechświecie zaś p to jej ciśnienie (obecnie praktycznie zaniedbywalne).

Dla określenia lewej strony równań Einsteina startuje się z interwału czasoprzestrzennego w postaci:

(2)

(patrz uzasadnienie w rozdziale o interwałach w przestrzeni o różnej krzywiźnie).

Przypominamy, że R to tzw. czynnik skalujący odległości przestrzenne zaś k charakteryzuje typ krzywizny przestrzeni: k = 0 odpowiada przestrzeni euklidesowej, k = +1 przestrzeni o geometrii typu sferycznego zaś k = -1 geometrii typu hiperbolicznego.

Z formuły (2) mamy więc składowe gij w postaci: g00 = 1, ,

g22 = - R2r2, g33 = -R2r2sin2q. Podstawową naszą niewiadomą jest jawna postać zależności R(t). Lewa strona równań Einsteina to dość skomplikowane funkcje pochodnych tensora gij. Wstawiając tam zapisane powyżej wielkości na goo, g11, g22 , g33 otrzyma się po dość długich przekształceniach układ dwóch równań w postaci:

(3)

(4)

(w dalszym ciągu będziemy używali przyjętego powszechnie skrótowego oznaczenia .

Równanie (4) można łatwo przekształcić do postaci:

(4a)

Ponieważ jednak 4pR3/3 =V to wielkość o wymiarze objętości zaś rV = M ma wymiar masy więc (4a) można (po wymnożeniu stronami przez dowolną jednostkową masę m=1) zapisać:

(4b)

Równanie to przypomina formalnie znany z mechaniki klasycznej bilans energii kinetycznej i potencjalnej cząstki m w polu grawitacyjnym masy M, gdyż pierwszy z lewej wyraz w (4b) to jakby energia kinetyczna zaś drugi to energia potencjalna.

Skorzystamy też z prawa zachowania masy w ekspandującym obszarze o promieniu R, (warunek ciągłości):

rV = M = const lub rR3 = const lub:

(5)

gdzie indeks “0” odnosi się do dowolnej (np. obecnej) chwili to .

Rozpatrzmy teraz poszczególne przypadki rozwiązania równania (4a).

I. k = 0. (przestrzeń globalnie euklidesowa).

Tutaj prawa strona w (4a) równa się zero, po lewe zaś stronie wielkość r zastępujemy zależnością (5). Otrzymujemy proste równanie różniczkowe:

(6)

gdzie zawiera wszystkie wielkości stałe. Rozwiązanie równania (6) ma postać

(7)

Zależność tempa ekspansji od czasu wyrazi się:

(8)

i zmierza do zera gdy . Natomiast tzw. parametr Hubble’a:

(9)

też zmierza z czasem do zera. Korzystając z otrzymanych powyżej rezultatów można też wyrazić zależność od czasu średniej gęstości materii :

(10)

Jest to tzw. “gęstość krytyczna” charakterystyczna właśnie dla wszechświata o geometrii euklidesowej. Dla gęstości r>rc mamy bowiem przestrzeń o geometrii typu sferycznego z k = +1 zaś dla r<rc przestrzeń ma geometrię hiperboliczną

z k = -1.

II. k = +1. (geometria typu sferycznego).

W tym przypadku równanie (4a) po podstawieniu (5) jest w postaci:

(11)

W postaci całkowej wygląda to następująco:

(12)

gdzie, jak poprzednio podstawiono .

Dla rozwiązania (12) dokonuje się podstawienia:

(13)

gdzie h to bezwymiarowy parametr pomocniczy.

Wówczas zależność R(t) otrzymujemy w postaci parametrycznej:

(14)

W chwili początkowej, dla h=0 i t=0 mamy R(0) = 0. (początkowa osobliwość).

Wartości h = p odpowiada maksymalna wartość czynnika R = Rmax:

(15)

Odpowiada to czasowi t:

(16)

Następnie, dla 2p>h>p wielkość R(t) maleje (Wszechświat kurczy się) i osiąga znów osobliwość R = 0 dla h = 2p. (ilustruje to rysunek na końcu tego rozdziału).

III. k = -1. (geometria hiperboliczna).

W tym przypadku równanie (4) jest podobne do (11) z drobną (lecz istotną) zmianą znaku po prawej stronie:

(17)

zaś równanie (12) też jest podobne z drobną różnicą znaku pod pierwiastkiem:

(18)

Tu także dokonuje się podstawienia (lecz z sinusem hiperbolicznym):

(19)

i otrzymuje się rozwiązania w postaci:

(20)

Tu także w chwili początkowej h = 0 (oraz t = 0 ) mamy osobliwość w postaci R = 0. Natomiast już dalsza ekspansja R(t) jest nieodwracalna (narastająca).

Graficznie zależność R(t) dla wszystkich trzech omówionych przypadków ilustruje poniższy rysunek.

Jak widać, wszystkie trzy rozwiązania zbiegają się w początkowej osobliwości R(t=0) = 0. W jej pobliżu nie można już zaniedbywać ciśnienia ośrodka, który przy tych gęstościach i temperaturach jest już ultra relatywistycznym gazem. Prześledzimy więc zachowanie się rozwiązań w tych warunkach.

Wychodzimy ze znanej postaci I-szej zasady termodynamiki (dla ekspansji adiabatycznej):

dE +p dV = 0 (21)

gdzie energia ośrodka E = e V = r c2R3 (zaś e = r c2 to gęstość energii). Równanie stanu gazu dla relatywistycznego przypadku ma postać

(22)

Wstawiając powyższe podstawienia do (21), różniczkując i porządkując otrzymamy:

(23)

czyli e R4 = const. Zamiast równania (5) mamy więc teraz:

(24)

Taką właśnie postać na r musimy teraz wstawić do równania (4). Otrzymamy wówczas:

(25)

Dla przypadku k = 0 po prostym wycałkowaniu otrzymamy

(26)

Dla pozostałych dwóch przypadków podobnie otrzymuje się w pobliżu osobliwości zależność typu:

(27)

Jest to bardzo ważna zależność, która przyda nam, się przy opisie wczesnych etapów ewolucji wszechświata. Odnotujmy tu jednak, że uwzględnienie ciśnienia gazu nie chroni rozwiązań kosmologicznych przed osobliwością w chwili t = 0.

 


Powrot do strony KOSMOLOGIA