PRÓBY KOSMOLOGII KWANTOWEJ -

RÓWNANIE WHEELERA-DeWITTA.

 

W podejściu tym chodziło o sformułowanie czegoś w rodzaju równania Schródingera dla funkcji falowej Y wczesnego wszechświata. Przedstawimy tu zarys najprostszej wersji takiego podejścia.

Zacznijmy od znanego już równania kosmologicznego w postaci:

(1)

tu prim nadal oznacza pochodną po xo = ct zaś p to ciśnienie pochodzące od pola Higgsa F omawianego w rozdziale o fazie inflacyjnej.

Przypomnijmy otrzymane tam zależności na gęstość energii i ciśnienie tego pola:

(2)

oraz

(3)

Okazuje się, że można zbudować taki lagranżjan, który po wstawieniu do równań Lagrange’a da nam równanie (1) , w którym ciśnienie ‘p’ dane jest przez (2) lub (3).

Lagranżjan ten ma postać

(4)

(lagranżjan ma tu wymiar energii).

Obliczamy:

(5)

Łatwo teraz sprawdzić, że po wstawieniu do otrzymamy (1).

Mając odpowiedni lagranżjan można zbudować tensor energii-pędu a w szczególności składową Too czyli hamiltonian.

(6)

Wielkości oraz można traktować jak tzw. pędy kanoniczne.

Wielkość H po uporządkowaniu wyrazów przyjmie postać

(7)

Następnie jako pędy kanoniczne podstawia się odpowiednie dla mechaniki kwantowej wielkości operatorowe

(8)

przez co cały hamiltonian H też staje się operatorem. Można więc formalnie użyć go do zapisania równania Schródingera . Postuluje się jednak, że funkcja falowa wszechświata Y(F,R) nie zależy jawnie od czasu (a jedynie za pośrednictwem R(t) oraz F(t) ). Oznacza to, że nie istnieje “zewnętrzny względem wszechświata” układ współrzędnych czasoprzestrzennych , w którym istniałaby “linia świata dla wszechświata” - czyli zewnętrzny względem wszechświata czas absolutny.

Ostatecznie równanie nasze po uwzględnieniu (7) i (8) będzie

(9)

Jest to właśnie równanie Wheelera-DeWitta (najprostsza jego wersja). Różne możliwości dyskusji daje możliwość zastosowania różnych form potencjału pola V(F) a także różne typy pól Higgsa w stosowanym wariancie teorii.

 

 


Powrot do strony KOSMOLOGIA