INTERWAŁ W PRZESTRZENIACH

O RÓŻNEJ KRZYWIŹNIE.

Jednym z podstawowych problemów kosmologii jest rozstrzygnięcie globalnej krzywizny przestrzeni Wszechświata. Z doświadczenia wiemy, że lokalnie przestrzeń naszą możemy opisywać geometrią euklidesową. Globalne własności natomiast opisują odpowiednie równania OTW (przedstawiane w rozdziale - kosmologiczne równania Friedmana). We wstępie do OTW (patrz rozdział: podstawy OTW) mówi się, że podstawowym obiektem matematycznym charakteryzującym własności geometryczne czasoprzestrzeni jest tzw. interwał czasoprzestrzenny, który w płaskiej czasoprzestrzeni ma postać:

ds2 = (dx0)2 - (dx1)2 - (dx2)2 - (dx3)2 (1)

Ze względu na izotropowość przestrzeni wygodnie jest przejść od współrzędnych kartezjańskich (x1, x2, x3) współrzędnych sferycznych:

(2)

Wówczas przestrzenna część interwału (1) (po prostych różniczkowaniach) przybierze postać:

(3)

Od czasów odkrycia Hubble’a (1929) wiemy, ze przestrzeń Wszechświata ekspanduje. Wszystkie punkty wzajemnie oddalają się nie zmieniając jednak swoich współrzędnych (względem przyjętej siatki współrzędnych ). To trochę tak jakby nadmuchiwać Ziemie (jak balon), wówczas wszystkie miejscowości oddalają się od siebie nie zmieniając jednak swoich współrzędnych geograficznych. Aby ten fakt uwzględnić wygodnie jest wprowadzić tzw. “czynnik skalujący” - R(t) - który mówi nam przez jaką wielkość trzeba przemnożyć odległość pomiędzy dwoma punktami przestrzeni po upływie czasu t . A więc formułę (3) zapiszemy w postaci:

(3a)

Formuły (1) - (3a) dotyczyły przestrzeni euklidesowej. Teraz zapiszemy interwał (3a) w ogólniejszej formie uwzględniającej możliwą globalną krzywiznę przestrzeni. Przestrzeń nasza nie musi być bowiem globalnie euklidesowa. Może ona mieć własności geometryczne podobne do powierzchni sferycznej (np. suma kątów trójkąta jest wtedy większa od 180o ) lub też własności podobne do powierzchni hiperboloidalnej (gdzie suma kątów trójkąta jest mniejsza od 180o). Interwał przestrzenny uwzględniający wszystkie te możliwości ma postać:

(4)

gdzie wielkość k przyjmuje trzy możliwe wartości:

k = 0 dla przestrzeni euklidesowej (wzór (4) wraca wtedy do postaci (3a) ),

k = +1 dla geometrii typu sferycznego,

k = -1 dla geometrii typu hiperbolicznego.

Rozpatrzmy dla prostoty odległość dl tylko wzdłuż współrzędnej radialnej ‘r’.

Wówczas dla k = +1 mamy:

(5)

co po scałkowaniu stronami daje nam :

(6)

lub :

(7)

Widać tu, że współrzędna r jest tu bezwymiarowa (wymiar długości ma za to czynnik R ) natomiast dla małych wartości l lub dużych R stosowne jest przybliżenie

(7a)

Można tu dostrzec podobieństwo do zależności między długością łuku a promieniem na powierzchni kuli (patrz rysunek)

W przypadku k = +1 mamy więc przestrzeń o własnościach hipersfery zaś czynnik skali R(t) jest jakby (zmiennym w czasie) promieniem tej hipersfery. Przestrzeń taka ma skończoną objętość (tak jak powierzchnia sfery ma skończone pole) równą V = 2p2R3 .

Dla k = -1 formuła (5) będzie:

(8)

co po scałkowaniu da nam funkcję hiperboliczną:

(9)

W tym sensie przestrzeń taka jest jakby trójwymiarową hiperboloidą o ujemnej krzywiźnie. Przestrzeń taka ma nieskończoną objętość.


Powrot do strony KOSMOLOGIA